Qual è la funzione Sinc e perché è importante nell'ingegneria elettrica?

5 ore fa p Robert Keim La formulazione matematica della funzione sinc, nota anche come funzione seno cardinale, è scritta come segue: La funzione mostrata sopra è indefinita per x = 0, e di conseguenza dobbiamo definire sinc (0) in base al limite quando x si avvicina a 0, che è 1. Quindi, \ [\ text {sinc} (x) = \ begin {cases} 1 & \ text {for} x = 0 \\\ frac {\ sin (x)} {x} & \ text {altrimenti} \ end {cases } \] Nel contesto dell'elaborazione del segnale digitale, utilizziamo spesso una forma alternativa in cui la variabile indipendente viene moltiplicata per π: \ [\ text {sinc} _ \ pi (x) \ equiv \ text {sinc} (\ pi x) = \ begin {cases} 1 & \ text {for} x = 0 \\\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x} & \ text {altrimenti} \ end {case} \] Questa seconda forma è chiamata funzione sinc normalizzata, perché l'integrale definito sull'intero intervallo di x è uguale a 1: Ho detto che la versione normalizzata è comune nell'elaborazione del segnale digitale. Quando abbiamo a che fare con dati discreti invece di una variabile a tempo continuo, la normalizzazione è espressa come segue: Il grafico seguente mostra la forma della funzione sinc e trasmette anche la differenza creata quando moltiplichiamo la variabile indipendente per π.
La trasformata di Fourier della funzione sinc è un rettangolo centrato su ω = 0. Questo dà a sinc (x) un posto speciale nel regno dell'elaborazione del segnale, perché una forma rettangolare nel dominio della frequenza è la risposta del filtro idealizzata "muro di mattoni" . In altre parole, sinc (x) è la risposta all'impulso di un filtro passa-basso ideale.
L'uso della funzione sinc nelle applicazioni di filtraggio è più evidente nel dominio digitale. Il diagramma seguente illustra la somiglianza tra la risposta all'impulso di un filtro FIR e un grafico di sinc (x). La trasformata di Fourier della funzione sinc è un rettangolo e la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare è una funzione sinc.
Se abbiamo bisogno di accorciare un segnale a tempo discreto ai fini dell'analisi spettrale, possiamo moltiplicarlo per un finestra rettangolare, e questa operazione equivale a convolgere la trasformata di Fourier del segnale con una funzione sinc. La funzione sinc compare anche nell'analisi della conversione da digitale ad analogico. Una ricostruzione idealizzata di un segnale analogico è una sequenza di impulsi, ma i DAC della vita reale producono forme d'onda a "scala" applicando una tenuta dell'ordine zero ai campioni di uscita.
Nel dominio della frequenza, i risultati della tenuta dell'ordine zero in uno spettro di uscita che è uguale allo spettro idealizzato moltiplicato per la funzione sinc ..