In che modo la deviazione standard si riferisce ai valori di radice-media-quadrata

un giorno fa p Robert Keim Se ti stai unendo a questa serie di statistiche sull'ingegneria elettrica, potresti voler iniziare con il primo articolo che introduce l'analisi statistica e la seconda che esamina le statistiche descrittive. Più di recente, abbiamo toccato la compensazione della dimensione del campione durante il calcolo delle deviazioni standard, concentrandoci in particolare sulla correzione di Bessel. In questo articolo, ci baseremo sulla discussione di un precedente articolo sulla deviazione standard, che cattura la potenza media delle variazioni casuali in un set di dati o in una forma d'onda digitalizzata.
Questa potenza media viene espressa come ampiezza, ad esempio, come volt invece di watt.
Gli ingegneri elettrici si occupano continuamente di variazioni casuali. Li chiamiamo rumore e assicurano che, indipendentemente dal tempo, avremo qualcosa di cui lamentarci. Usiamo la seguente formula per calcolare la deviazione standard: Molti di noi probabilmente hanno prima appreso i valori RMS nel contesto dell'analisi CA.
Nei sistemi CA, un valore RMS di tensione o corrente è spesso più informativo di un valore che specifica la tensione o la corrente di picco, perché RMS è un valore più percorso diretto alla dissipazione di potenza. Non è possibile utilizzare una tensione di picco o un valore di corrente quando si calcola la dissipazione di potenza perché la tensione o la corrente varia costantemente e di conseguenza varia anche la dissipazione di potenza istantanea. Un calcolo basato sul valore di picco sovrastimerebbe la potenza media nel tempo.
Le ampiezze RMS ci consentono di calcolare la dissipazione di potenza come se stessimo lavorando con quantità DC. Più specificamente, l'ampiezza RMS di una tensione o corrente sinusoidale è uguale all'ampiezza di un segnale CC che creerebbe la stessa quantità di dissipazione di potenza mediata nel tempo. Una batteria da 12 V collegata a una resistenza da 10 Ω genererà 122/10 = 14.
4 W di potenza (istantanea e media). Se sostituiamo la batteria con una tensione di alimentazione CA che ha un'ampiezza RMS di 12 V, la potenza (media) sarà la stessa. Calcolare le ampiezze RMS è facile quando stiamo lavorando con segnali sinusoidali: dividiamo semplicemente il valore di picco per √2.
Il seguente diagramma fornisce un'illustrazione interessante di questa relazione. La potenza è proporzionale al quadrato di tensione o corrente. Una tensione CC di 1 V collegata a un circuito con resistenza R genererà 12 / R = 1 / R watt di potenza.
Possiamo vedere dall'ispezione che la curva blu ha un valore medio di 1; quindi, poiché la curva blu è uguale alla curva rossa al quadrato, anche la potenza media generata dalla curva rossa sarà 1 / R. Ora nota il valore di picco della curva rossa: è √2 (circa 1,4).
Ciò conferma che dobbiamo dividere il valore di picco per √2 per identificare l'ampiezza che produrrà la potenza media corretta quando lo standard viene applicata la formula — V2 / R o I2R —. Quelli di noi che lavorano frequentemente con i sistemi elettrici CA devono ricordare che le ampiezze RMS non si limitano ai segnali sinusoidali. Inoltre, la procedura matematica che genera un'ampiezza RMS è significativamente più complicata della divisione per √2.
Accade così che con i sinusoidi la procedura equivale alla divisione per √2. Questa semplificazione non si applica ad altri tipi di segnali come onde quadrate, onde triangolari o rumore. Il calcolo RMS effettivo — i.
e., Il calcolo che applichiamo ai segnali in generale — è espresso come segue: Ecco la procedura in parole: supponiamo che x (t) sia un segnale nel dominio del tempo che è periodico nell'intervallo dal tempo T1 al tempo T2. Quadriamo x (t), integriamo questo segnale quadrato nell'intervallo rilevante, dividiamo il valore integrato per la lunghezza dell'intervallo e quindi prendiamo la radice quadrata.
L'integrazione da T1 a T2 e quindi la divisione per (T2 – T1) è analoga alla somma di tutti i valori nel segnale e alla divisione per il numero di valori. In altre parole, l'esecuzione di questi due passaggi è l'equivalente nel dominio del tempo del calcolo della media aritmetica di un set di dati. Quindi, stiamo prendendo la radice quadrata della media del segnale quadrato: radice quadrata media.
Come potremmo convertire la formula sopra indicata in qualcosa che possiamo applicare a dati discreti? In altre parole, come possiamo calcolare l'ampiezza RMS di una forma d'onda digitalizzata? Diamo un'occhiata in questo modo: in primo luogo, quadriamo i singoli valori (ad esempio, x [1], x [2], x [3], ecc.) Invece di una funzione (ad esempio, x (t)).
Successivamente, quando passiamo da un segnale di tempo continuo a un segnale di tempo discreto, l'integrazione diventa somma e un intervallo di tempo diventa un "intervallo" di punti dati, ovvero il numero di punti dati che sono stati sommati. > Infine, abbiamo la radice quadrata, che non cambia. Pertanto, possiamo scrivere il nostro calcolo RMS a tempo discreto come segue: \ [X_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {N} (x [1] ^ 2 + x [2] ^ 2 + ..
. + X [N] ^ 2)} \] Comincia a sembrare familiare? Stiamo quadrando i valori, li sommiamo, dividiamo per il numero di valori e quindi prendiamo la radice quadrata. Esistono solo due differenze tra questa procedura e la procedura che utilizziamo per calcolare la deviazione standard: Se stiamo cercando di stabilire l'equivalenza tra RMS e deviazione standard, la seconda differenza potrebbe sembrare un rompicapo.
Tuttavia, considerare questo: se la media è zero, come spesso accade nei segnali elettrici, non vi è alcuna differenza tra il calcolo RMS e il calcolo della deviazione standard. In altre parole, per un segnale senza offset DC, la deviazione standard del segnale è anche l'ampiezza RMS. Non tenterò di esplorare il pieno significato di questa equivalenza tra deviazione standard e radice media quadrata. Tuttavia, prima di concludere, voglio menzionare due punti interessanti che emergono da questa discussione. Innanzitutto, la deviazione standard ci fornisce l'ampiezza RMS “AC coupled” di una forma d'onda: possiamo calcolare la deviazione standard quando l'offset DC di un segnale è irrilevante, e questo ci dà l'ampiezza RMS solo della porzione AC. In secondo luogo, la deviazione standard può essere interpretata come una quantificazione del rumore e l'analisi del rumore è strettamente legata al quadrato medio della radice.
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